שלמה ירקוני נולד באוז'הורד, צ'כוסלובקיה, ביום -4 בנובמבר 1924. בהיותו כבן 12 הצטרף לבית"ר. בשנת 1945 עלה לארץ בעלייה "בלתי חוקית", ועם עלייתו הצטרף לאצ"ל. הוא נעצר ונכלא ביפו, שובלטרון, ואחר כך הוגלה לאריתריאה, ומשם לקניה. לארץ הוחזר עם כל הגולים ב-12 ביולי 1948.
עם בואו ארצה התגייס לחיל ההנדסה של צה"ל, ועם סיום שירות החובה, שירת שנה אחת שירות קבע והשתחרר בדרגת סרן. אחר כך שירת במילואים עוד עשרים ושמונה וחצי שנים, וסיים בדרגת רב-סרן.
שלמה היה נשוי לרחל ז"ל (לבית רכס), ולהם שני ילדים. בנם ישי נפל במלחמת יום הכיפורים.
שלמה ירקוני הוא עורך-דין במקצועו.